Какие фигуры можно сделать из листа мебиуса. Эксперименты с лентой мебиуса

Лента Мебиуса - простая, но удивительная штука. Сделать ее можно за пару секунд, а сюрпризов, закономерностей и свойств у этого явления - масса. Чтобы это было понятнее на практике, возьмите обычную полоску бумаги, клей, соедините ее концы. Но обязательно так, чтобы один конец оказался перевернут относительно другого на пол-оборота. Вот и готова знаменитая лента Мебиуса.

О получившейся загадочной поверхности можно говорить бесконечно. Задайте себе вопрос о том, сколько поверхностей у бумажного кольца. Две? А вот и нет - одна. Проверить это очень просто. Возьмите фломастер или карандаш и попробуйте закрасить одну из сторон ленты, не отрываясь и не переходя на другую сторону. Получилось? А где же незакрашенная сторона? То-то и оно…

Название ленте дал ее изобретатель: Август Фердинанд Мебиус, профессор университета в Лейпциге. Он посвятил научной работе свою долгую и плодотворную жизнь (а это 78 лет), а сохранял он ясность ума до самого ухода. В свои 75 лет профессор описал уникальные свойства односторонней поверхности с кажущейся двуслойностью. С тех пор лучшие умы геометрии, физики и даже духовности исследовали этот объект вдоль и поперек.

Вы самостоятельно можете провести несколько экспериментов, взяв в руки ленту Мебиуса. Попробуйте разрезать ее вдоль, проведя предварительно среднюю линию по всей поверхности. Как вы думаете, что получится? Два кольца меньшей ширины? Снова неверно - одно! Вдвое длиннее предыдущего, но перекрученное уже дважды. Вот у него-то как раз уже будут две поверхности, а не одна, как в первом случае. Такую завитушку называют Афганской лентой, она тоже широко известна исследователям. Кстати, в духовности этот эффект называют символом дуальности и трактуют иллюзорным восприятием единого.

А если снова провести продольную линию, но не посередине, а ближе к краю на треть ширины ленты? Разрежьте полученное кольцо, и у вас в руках их окажется уже два: лента Мебиуса и Афганская лента, причем непостижимым образом они будут сцеплены друг с другом.

Но это далеко не все сюрпризы. Попробуйте при склеивании ленты в кольцо взять не одну, а две бумажные полоски. А потом три или даже четыре. Гарантирую: результат вас удивит еще больше!

Любопытный опыт можно поставить и гипотетически. Взяв двойную ленту Мебиуса (то есть склеенную из двух полосок) и просунув между ними палец (карандаш, деревянную палочку - что угодно), мы сможем водить им между лентами бесконечно, доказав тем самым, что фигура состоит из двух отдельных частей. А теперь представьте себе, что между этими лентами ползает муха. Нижняя полоска для нее будет «полом», верхняя - «потолком», и так до бесконечности.

Но на деле все совсем не так просто, как кажется. Ведь если поставить метку начала путешествия мухи «на полу», то когда насекомое сделает круг, эта самая метка окажется уже «на потолке». И чтобы снова перейти «на пол», нужно будет совершить еще один круг.

Представьте, что муха ползет по улице. Справа от нее находятся дома под четными номерами, а слева, соответственно, под нечетными. Совершая прогулку, в какой-то момент наша путешественница удивленно заметит, что нечетные номера идут уже справа, а четные - слева! Страшно представить такую ситуацию на наших реальных дорогах с правосторонним движением, ведь скоро придется столкнуться с другими прогуливающимися «лоб-в-лоб». Вот такая она - лента Мебиуса…

Применение этой и других закономерностей нашлось не только в гипотетической, но и в реальной жизни. Например, на основе ленты созданы ремни в печатных устройствах, автоматическая передача, абразивное кольцо в затачивающих механизмах и многое другое, о чем вы даже не подозреваете. Поистине, лента Мебиуса - загадка, которую можно изучать до бесконечности!

Арндт Анастасия

В работе рассматривается история открытия листа Мёбиуса и эксперименты, которые можно провести с листом Мёбиуса.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Весенненская средняя общеобразовательная школа»

Рождественские чтения

Номинация: «Точные науки»

Секреты листа Мёбиуса

Арндт Анастасия

Ученица 5 класса

Руководитель:

Арндт Ирина

Васильевна,

Учитель математики

с. Весеннее

2014 год

Введение. ………………………………………………………..…..…..… с. 3

Глава I. Историческая справка. .....…………………………………....... с. 3-4

Глава II. Лист Мёбиуса. ………………………………………….....…….с. 4-9

§1. Изготовление листаМёбиуса. ………………………………........…..с. 4

§2. Эксперименты с листом Мёбиуса. ……..………………………........с. 4-6

§3. Применение листа Мебиуса в жизни. ………………………….....… с.7-9

Заключение. ………………………………………..…………………........с. 9

Литература. ……………………………………………………………..….с. 10

Введение.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Примерлиста Мебиуса показывает, что может. Многие знают, что такое лента (лист) Мёбиуса. Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом, который относится к «математическим неожиданностям», мы предлагаем вместе с нами провести исследование и окунуться в светлое чувство познания.

Меня очень заинтересовала эта тема. Я решила углубить свои познания в этой области.

Цель моей работы: исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии.

Задачи: - собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса;

Исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса;

Показать применение ленты Мёбиуса в жизни.

Глава I. Историческая справка.

Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), родился в городе Шульпфорте, немецкий геометр, ученик «короля математиков» знаменитого К.Ф. Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий, он стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.Это было самое значительное событие в его жизни!

Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

В истории нередко бывают случаи, когда одна идея приходит в головы одновременно нескольким изобретателям. Так случилось и с лентой Мебиуса.

В том же 1858 году идея ленты пришла и к другому ученому, ученику К.Ф. Гаусса – Иоганну Бенедикту Листингу (1808-1882), немецкому математику и физику, профессору Геттингенского Университета. Он дал название науке, изучающей непрерывность, - топология .

Топология изучает свойства геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать. Первенство в открытии топологического объекта – ленты досталось Августу Мебиусу.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона.

Глава II. Лист Мёбиуса.

§1. Изготовление листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии.

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей.Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ 1 А 1 , перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А 1 В 1 , т.е. так, что совместятся точки А и В 1 и точки А 1 и В.

Получим перекрученное кольцо. И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите?

§2.Эксперименты с листом Мёбиуса.

Чтобы изучить его свойства, я провела несколько опытов, которые разделила на две группы:

I группа.

Опыт № 1 . Начала красить лист Мёбиуса, не переворачивая его.

Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

«Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Опыт № 2.

Представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует человечек - перевертыш, то пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью.Он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом!

А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное » путешествие. У листа Мёбиуса - всего одна сторона!

II группа опытовсвязана с разрезанием листа Мебиуса.

Я провела ряд экспериментов, результаты которых занесла в таблицу.

Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса.

§3. Применение листа Мебиуса в жизни.

Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он актуален и в XX веке, и в XXΙ.

Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.

Лист Мёбиуса в технике и физике

На магнитных лентах, закрученных по Мебиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с «двух сторон» не меняя местами.

Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается, значит, и служить она будет дольше. Это даёт ощутимую экономию.

Лист Мёбиуса в природе и в жизни.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Таинственная лента Мёбиуса всегда будоражила умы писателей, художников и скульпторов. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Широко известны и его рисунки с изображением лента Мёбиуса.

Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса.

Улицы многих городов украшают скульптуры на тему ленты Мебиуса.

Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса.

Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, изображен на значке механико-математического факультета Московского университета.

Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.

Кроме того именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны.

Архитекторы используют ленту Мебиуса в новаторских формах. Так, например, выглядит невероятный проект новой библиотеки в Астане (Казахстан).

Заключение.

Лист Мёбиуса обладает многими интересными свойствами.

1. Лист Мебиуса имеет один край.
2. Лист Мебиуса имеет одну сторону.
3. Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
4. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыли. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. В этой работе я пыталась описать свойства прекрасной поверхности - листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса - топологическая фигура.

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:

• у математиков- идут дальнейшие исследования;
• у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
• в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.

Мною не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. В дальнейшем я планирую продолжить исследования этого непредсказуемого листа.

Литература.

1. Волошинов А.В., "Математика и искусство" М.:"Просвещение", 1996г.
2. Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., № 24 2006г.
3. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г.
4. Гусев В.А., Комбаров А.П. «Математическая разминка» М.:"Просвещение", 1986г.
5. Интернет - ресурсы сайта: http://ru.wikipedia .
6. Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками. Квант, 1974, №3.

Мастер-класс «Сюрпризы листа Мебиуса» - разработала учитель математики МБОУ «Гимназия №1» г. Рузаевка Ханина М.Ф.

Добрый день уважаемые коллеги! Сегодня я хочу, чтобы вы вспомнили об одном удивительном объекте, и посмотрели как с помощью простых опытов, можно познакомить детей с понятием односторонней поверхности и ее удивительных свойствах, донести до сознания, что математические объекты и законы применяются как в повседневной жизни, так и в искусстве.

Ещё Блез Паскаль - великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».

Сюжет. (слайд 2)

В поезд № 86 отошёл от станции Парк-стрит, но ни на следующей станции, ни в депо не появился, без следов исчезнув вместе с машинистом и примерно с 350 пассажирами.

Профессор алгебры из Роджер Тьюпело, прочитав в газетах о произошедшем, приходит к главному управляющему городским метрополитеном Келвину Уайту, чтобы сообщить свою гипотезу исчезновения поезда. Согласно Тьюпело, после открытия новой линии Бойлстон изменились топологические свойства бостонского метрополитена и поезд попал в . Приняв его за сумасшедшего, Уайт выпроваживает Тьюпело.

Однако вскоре Уайту становится ясно, что поезд действительно находится где-то в метро. Так, состав № 86 периодически фиксирует автоматика в разных частях метрополитена, он потребляет электроэнергию, но никто его не видит, хотя шум его слышен. Было решено - не закрывать новую линию, в надежде, что поезд вернётся.

Проходит два месяца. Однажды утром, направляясь в университет, Тьюпело садится в метро и обращает внимание, что пассажир читает газету, которая датирована днём исчезновения поезда. Он бежит по вагону, проверяет даты газет у других пассажиров и у некоторых из них также оказываются газеты двухмесячной давности. Тьюпело дёргает за шнур сигнала и поезд останавливается. Математик объявляет пассажирам и машинисту, что прошло уже два месяца и просит проверить свои слова, посмотрев на дату газет у пассажиров, зашедших в вагон на предыдущей станции. Тьюпело выбегает в тоннель и бежит к телефону, по которому связывается с главным управлением метрополитена. Он сообщает, что 86-й поезд, наконец-то, нашёлся и все пассажиры живы - здоровы.

Встретившись с Уайтом, Роджер Тьюпело просит его закрыть линию Бойлстон, но Уайт отвечает: «Поздно. Двадцать пять минут назад между станциями Эглстон и Дорчестер исчез поезд номер 143».

Это был сюжет научно-фантастического рассказа Армина Дейча « Лист Мёбиуса». На русском языке был впервые опубликован в журнале « » в 1969 году. Бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

История открытия листа Мебиуса. ( слайд 3)

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса придумал в 1858 году немецкий ученый Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса.

Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.

В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

Как получить лист Мебиуса? (слайд 4)

Перекрутите на пол-оборота (180˚) один конец прямоугольной бумажной полоски (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см) и приклейте его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лист Мебиуса».

Топология ( слайд 5)

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией (по другому- «геометрия положения» или «резиновая геометрия»). В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях.

Удивительные свойства листа Мебиуса: он имеет один край, одну сторону- не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер.

Проведем несколько опытов с листом Мебиуса . ( слайд 6)

Опыт 1.

Возьмем приготовленный лист Мёбиуса и разрежем склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что получится?

Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее (так называемая «афганская лента») . К тому же перекручено оно не один раз, а два.

Опыт 2.

Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.

Опыт 3.

Из результатов опыта №2 каждое кольцо разрезаем посередине. Получим «цветок» - четыре кольца с двумя полуоборотами все сцеплены между собой.

Опыт 4.

Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Опыт 5.

А теперь попробуем изготовить такую модель: в полосе АВСD прорезать щель и продеть сквозь неё один конец. Повернув, на пол оборота, склейте, как показано на рисунке . А теперь продолжите разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось?

Получилась одна лента Мебиуса.

Опыт 6.

Возьмем полоску, перегнутую по длине один раз. Перекрутим ее на полный оборот и склеим концы, накладывая «домиком» один конец на другой. Теперь разрежем двойной слой склеенной ленты по ее средней линии - получатся три кольца, сцепленные попарно.

Продолжать опыты с листом Мебиуса можно бесконечно и результаты будут различны, в зависимости от того, четное ли количество пол оборотов или нечетное, посередине будет разрез или на 1/3, или на ¼ от края и т.д.

Символ математики ( слайды 7-8)

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары.

Применение листа Мебиуса в литературе. ( слайд 9)

Но не только математиков вдохновлял и продолжает вдохновлять лист Мебиуса.

Лист Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине великого кристалла».

Романтическое описание листа Мёбиуса можно встретить в повести Э. Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы», и ещё в очень многих произведениях. Е му посвящено много стихов.

Применение листа Мебиуса в технике. ( слайд 10)

Подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

Применение листа Мебиуса в искусстве. ( слайд 11)

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Мауриц Корнелис Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Мы можем увидеть ленту Мебиуса в работах «Всадники» (1946 г.), «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)» (1963 г.)

Лиза Рей «Корабль дураков в бесконечность».

Другая интересная литография называется "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

Применение листа Мебиуса в скульптуре и архитектуре. ( слайд 12)

Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены.

Современный буддийский храм.

Здание для тайваньского парка.

Проект моста в Китае.

Скульптуры в Москве, Риге, Минске.

Применение листа Мебиуса в быту. ( слайд 13)

Лист Мебиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мебиуса.

Не остались равнодушными к нему и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой лист Мебиуса, склеенный из гнутого Британского дуба.

Поклонниками листа Мебиуса стали даже обувщики.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде листа Мебиуса.

Заключение

Лист Мёбиуса используется в жизни и в различных сферах промышленности.

Он волнует литераторов и художников, архитекторов и скульпторов, озадачивает и вдохновляет людей творческой натуры.

Зная свойства листа Мёбиуса, можно изготовить полезные и нужные вещи.

Лист Мёбиуса известен далеко не всем людям, но он является частью того, что нас окружает в повседневной жизни!

Лента Мебиуса (Möbius strip) - трехмерная поверхность, имеющая только одну сторону и одну границу, обладающая математическим свойством неориентируемости. Она была открыта независимо одновременно двумя математиками из Германии Августом Фердинандом Мёбиусом (August Ferdinand Möbius) и Иоганном Бенедиктом Листингом (Johann Benedict Listing) в 1858 году.

Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница.

В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.

Геометрия и математика

Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений:

где и . Этими уравнениями описывается лента Мебиуса шириной 1, лежащая в плоскости x -y; внутренний радиус окружности которой равен 1, центр внутренней окружности находится в начале координат (0,0,0). Параметр u движется вдоль ленты, а параметр v - от одной границы к другой.

Иным способом ленту можно представить выражением в полярных координатах:

Топологически, лента Мебиуса может быть определена как квадрат x , верх которого соединен с низом в соотношении (x ,0) ~ (1-x ,1) for 0 ≤ x ≤ 1, как показано на рисунке справа.

Близкие объекты

Тесно связанным с лентой Мебиуса является загадочный объект - бутылка Кляйна . Бутылка Кляйна может быть создана склеиванием двух лент Мебиуса друг с другом вдоль их границ. Эта операция не может быть произведена в трехмерном пространстве без создания пересечений внутри фигуры.

Одна из базовых невозможных фигур невозможный треугольник может быть представлен как лента Мебиуса, если сгладить некоторое его грани. При этом получится лента Мебиуса, описывающая три витка.

Искусство

Логотип The Power Architecture

Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования.

Приложение. Картины с лентами Мебиуса

Картина ниже Пола Билацика (Paul Bielaczyc) называется Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни. Кельтские узлы окружают его в его работе, картины М.К. Эшера всегда служат источником вдохновения, а лента Мебиуса имеет отношение к предмету, изучаемому художником.

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере.

Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.

Что это такое? Кто и когда ее открыл?

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика - Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности - Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.опубликовано

Бударина Светлана